Montrer que l’application \(\varphi: (r,\theta)\to (x,y)=(r\cos\theta, r\sin\theta)\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de l’ouvert \(]0,\infty[\times]-\pi,\pi[\) sur le plan privé de la demi-droite \(\Rr^-\). Si \(f(x,y)=g(r,\theta)\) donner les formules de passage entre les dérivées partielles de \(f\) et celles de \(g\).
Soit \(U\) le plan privé de l’origine, et \(f(x,y)=(x^2-y^2, 2xy)\).
Montrer que \(f\) est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de \(U\) mais n’est pas un difféomorphisme global.
Soit \(g\) l’application de \({\Rr}^2\) dans \({\Rr}^2\) définie par \(g(x,y)= (x+y,xy)\). Trouver un ouvert connexe maximal \(U\subset\Rr^2\) tel que \(g\) soit un difféomorphisme de \(U\) sur \(g(U)\).
Soit \(h\) l’application de \({\Rr}^2\) dans \({\Rr}^2\) définie par \((x,y)\to (e^x\cos y,e^x\sin y)\).
Montrer que \(h\) est de classe \(C^1\) dans \({\Rr}^2\); que \(h'(x,y)\) est un élément de Isom(\({\Rr}^2,{\Rr}^2\)) pour tout \((x,y)\) de \({\Rr}^2\); mais que \(h\) n’est pas un homéomorphisme de \({\Rr}^2\) sur \(h({\Rr}^2)\).