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Montrer que l’application $\varphi: (r,\theta)\to (x,y)=(r\cos\theta, r\sin\theta)$ est un $C^1$-difféomorphisme de l’ouvert $]0,\infty[\times]-\pi,\pi[$ sur le plan privé de la demi-droite $\Rr^-$. Si $f(x,y)=g(r,\theta)$ donner les formules de passage entre les dérivées partielles de $f$ et celles de $g$.

Soit $U$ le plan privé de l’origine, et $f(x,y)=(x^2-y^2, 2xy)$.

Montrer que $f$ est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de $U$ mais n’est pas un difféomorphisme global.

Soit $g$ l’application de ${\Rr}^2$ dans ${\Rr}^2$ définie par $g(x,y)= (x+y,xy)$. Trouver un ouvert connexe maximal $U\subset\Rr^2$ tel que $g$ soit un difféomorphisme de $U$ sur $g(U)$.

Soit $h$ l’application de ${\Rr}^2$ dans ${\Rr}^2$ définie par $(x,y)\to (e^x\cos y,e^x\sin y)$.

Montrer que $h$ est de classe $C^1$ dans ${\Rr}^2$; que $h'(x,y)$ est un élément de Isom(${\Rr}^2,{\Rr}^2$) pour tout $(x,y)$ de ${\Rr}^2$; mais que $h$ n’est pas un homéomorphisme de ${\Rr}^2$ sur $h({\Rr}^2)$.