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Soit $M = (m_{ij})$ une matrice carrée de taille $n$. On construit à partir de $M$ la matrice $N = (n_{ij})$ de la manière suivante : pour tout couple d’indices $i, j$, on appelle $M_{ij}$ la matrice obtenue à partir de $M$ en rayant la ligne $i$ et la colonne $j$ ; alors $n_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ji})$. Démontrer que $MN = NM = \det(M)I$, où $I$ désigne la matrice identité. En déduire une méthode d’inversion de matrices passant par le calcul de déterminants, et l’appliquer à la matrice $$M = \left(\begin{array}{cccc}3 & -2 & 0 & -1\\0 & 2 & 2 & 1\\1& -2 & -3 & -2\\ 0 & 1 & 2 & 1\end{array}\right).$$