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Soit \(M = (m_{ij})\) une matrice carrée de taille \(n\). On construit à partir de \(M\) la matrice \(N = (n_{ij})\) de la manière suivante : pour tout couple d’indices \(i, j\), on appelle \(M_{ij}\) la matrice obtenue à partir de \(M\) en rayant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) ; alors \(n_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ji})\). Démontrer que \(MN = NM = \det(M)I\), où \(I\) désigne la matrice identité. En déduire une méthode d’inversion de matrices passant par le calcul de déterminants, et l’appliquer à la matrice \[M = \left(\begin{array}{cccc}3 & -2 & 0 & -1\\0 & 2 & 2 & 1\\1& -2 & -3 & -2\\ 0 & 1 & 2 & 1\end{array}\right).\]