Soit \(l^\infty\) l’espace des suites réelles muni avec la norme uniforme, i.e. \(\|x\| _\infty = \sup _n |x_n|\). On considére l’application \(A:l^\infty \to l^\infty\) définie par \[A(x_1,x_2,...,x_n,...) = (x_1, x_2/2,..., x_n/n,...) \; .\] Montrer que :
1
\(A\) est injective et continue avec \(\|A\| =1\). Par contre, \(A\) n’est pas surjective.
2
\(A\) admet un inverse à gauche mais qu’il n’est pas continu.