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Soit $l^\infty$ l’espace des suites réelles muni avec la norme uniforme, i.e. $\|x\| _\infty = \sup _n |x_n|$ . On considére l’application $A:l^\infty \to l^\infty$ définie par $A(x_1,x_2,...,x_n,...) = (x_1, x_2/2,..., x_n/n,...) \; .$ Montrer que :

$A$ est injective et continue avec $\|A\| =1$ . Par contre, $A$ n’est pas surjective.

$A$ admet un inverse à gauche mais qu’il n’est pas continu.