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Soit $\beta=(P_{0},P_{1},...,P_{n})$ un système de $(n+1)$ polynômes tels que, $\forall k$, $0\le k \le n$, $\text{deg}\,P_{k}=k$. Montrer que $\beta$ est une base de $E$.

Soit $P$ un polynôme de degré $n$. Montrer que : $\gamma=(P,P',\ldots,P^{(n)})$ est une base de $E$ et déterminer les composantes du polynôme $Q$ défini par : $Q(X)=P(X+a)$, ($a$ réel fixé), dans la base $\gamma$.

Démontrer que le système $S=(X^{k}(1-X)^{n-k})_{0\le k \le n}$ est une base de $E$, et déterminer, pour tout $p \in \{0,1,\ldots,n\}$, les composantes du polynôme $X^{p}$ dans la base $S$.