Soit \(n \in { \Nn}\) et \(E={ \Rr}_{n}[X]\), l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré \(\le n\).
1
Soit \(\beta=(P_{0},P_{1},...,P_{n})\) un système de \((n+1)\) polynômes tels que, \(\forall k\), \(0\le k \le n\), \(\text{deg}\,P_{k}=k\). Montrer que \(\beta\) est une base de \(E\).
2
Soit \(P\) un polynôme de degré \(n\). Montrer que : \(\gamma=(P,P',\ldots,P^{(n)})\) est une base de \(E\) et déterminer les composantes du polynôme \(Q\) défini par : \(Q(X)=P(X+a)\), (\(a\) réel fixé), dans la base \(\gamma\).
3
Démontrer que le système \(S=(X^{k}(1-X)^{n-k})_{0\le k \le n}\) est une base de \(E\), et déterminer, pour tout \(p \in \{0,1,\ldots,n\}\), les composantes du polynôme \(X^{p}\) dans la base \(S\).