On considère les matrices suivantes : \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \qquad C=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\] En effectuant le moins de calculs possible,
montrer que
\(\{0\}\subset\mathrm{Ker} A\subset\mathrm{Ker} A^{2}\subset\mathrm{Ker} A^{3}=\R^{4}\)
et déterminer les dimensions respectives de \(\mathrm{Ker} A\) et \(\mathrm{Ker}
A^{2}\),
déterminer un vecteur \(e_{1}\) tel que \(\R^{4}=\mathrm{Ker} A^{2}\oplus\mathrm{Vect}(e_{1})\),
montrer que \((e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1})\) est une famille libre,
montrer que \(Ae_{1}\in\mathrm{Ker} A^{2}\), et que \(\mathrm{Ker} A^{2}=\mathrm{Ker} A\oplus\mathrm{Vect}(Ae_{1})\),
montrer que \(A^{2}e_{1}\in\mathrm{Ker} A\) et déterminer un vecteur \(e_{2}\) tel que \(\mathrm{Ker} A=\mathrm{Vect}(A^{2}e_{1})\oplus\mathrm{Vect}(e_{2})\),
montrer que \((e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1},e_{2})\) est une base de \(\R^{4}\).
Soit \(P\) la matrice de passage de la base canonique à la base \((A^{2}e_{1},Ae_{1},e_{1},e_{2})\). Caluler \(P^{-1}AP\).