L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 7 questions

exo7 1605

On considère les matrices suivantes : $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \qquad C=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ En effectuant le moins de calculs possible,

montrer que $\{0\}\subset\mathrm{Ker} A\subset\mathrm{Ker} A^{2}\subset\mathrm{Ker} A^{3}=\R^{4}$
et déterminer les dimensions respectives de $\mathrm{Ker} A$ et $\mathrm{Ker} A^{2}$ ,

déterminer un vecteur $e_{1}$ tel que $\R^{4}=\mathrm{Ker} A^{2}\oplus\mathrm{Vect}(e_{1})$ ,

montrer que $(e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1})$ est une famille libre,

montrer que $Ae_{1}\in\mathrm{Ker} A^{2}$ , et que $\mathrm{Ker} A^{2}=\mathrm{Ker} A\oplus\mathrm{Vect}(Ae_{1})$ ,

montrer que $A^{2}e_{1}\in\mathrm{Ker} A$ et déterminer un vecteur $e_{2}$ tel que $\mathrm{Ker} A=\mathrm{Vect}(A^{2}e_{1})\oplus\mathrm{Vect}(e_{2})$ ,

montrer que $(e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1},e_{2})$ est une base de $\R^{4}$ .

Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique à la base $(A^{2}e_{1},Ae_{1},e_{1},e_{2})$ . Caluler $P^{-1}AP$ .