1
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\). Pour \(a\) fixé, on écrit la formule de Taylor-Lagrange : \[f(a+h) = f(a) + \dots + \frac {h^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a) + \frac {h^n}{n!}f^{(n)}(a + h\theta_h).\]
Montrer que si \(f^{(n+1)}(a) \ne 0\), alors pour \(h\) suffisament petit, \(\theta_h\) est unique et \(\theta_h \to \frac 1{n+1}\) lorsque \(h\to0\).