Soit \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille \(n\) suivant : \[\Delta_{n}=\left\vert \begin{matrix} 3 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ 2 & 3 & 1 &\ddots &\vdots \\ 0 & 2 & 3 &\ddots & 0 \\ \vdots &\ddots&\ddots &\ddots & 1 \\ 0 &\cdots& 0 & 2 & 3 \end{matrix} \right\vert\]
1
Montrer que \(\forall n\in\N^{*}, \Delta_{n+2}=3\Delta_{n+1}-2\Delta_{n}\) (avec la convention \(\Delta_{0}=1\), \(\Delta_{1}=3\)).
2
Montrer par récurrence que \(\forall n\in\N^{*}, \Delta_{n}=2^{n+1}-1\)