Si $\lambda=\mu= 0$ , $r = 0$ et $s = (0,0)$ . Si $\lambda=0$ et $\mu\neq0$ ,

$Q(f)=\frac{\mu}{4}(a+d)^2-\frac{\mu}{4}(a-d)^2-\frac{mu}{4}(b+c)^2+\frac{\mu}{4}(b-c)^2$ ,

et donc $r=4$ et $s=(2,2)$ .

Si $\lambda\neq0$ ,

$\begin{align*}\ensuremath Q(f)&=\lambda a^2+\mu ad + (2\lambda-\mu)bc +\lambda d^2=\lambda\left(a+\frac{\mu}{2\lambda}d\right)^2 +(2\lambda-\mu)bc +\left(\lambda-\frac{\mu^2}{4\lambda}\right)d^2\\ &=\lambda\left(a+\frac{\mu}{2\lambda}d\right)^2+\left(\lambda-\frac{\mu^2}{4\lambda}\right)d^2+ \frac{2\lambda-\mu}{4}(b+c)^2-\frac{2\lambda-\mu}{4}(b-c)^2. \end{align*}$

Maintenant, les quatre formes linéaires $(a,b,c,d)\mapsto a+\frac{\mu}{2\lambda}d$ , $(a,b,c,d)\mapsto d$ , $(a,b,c,d)\mapsto b+c$ et $(a,b,c,d)\mapsto b-c$ sont linéairement indépendantes. Donc

- si $\mu=2\lambda\;(\neq0)$ , $r=1$ ,

- si $\mu=-2\lambda\;(\neq2\lambda)$ , $r=3$ ,

- si $|\mu|\neq2|\lambda|\;(\neq0)$ , $r=4$ .

En particulier, si $\lambda=1$ et $\mu=0$ , alors $r=4$ et $s=(3,1)$ et si $\lambda= 0$ et $\mu= 1$ , $r=4$ et $s = (2,2)$ .

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