Si \(\lambda=\mu= 0\), \(r = 0\) et \(s = (0,0)\). Si \(\lambda=0\) et \(\mu\neq0\),

\(Q(f)=\frac{\mu}{4}(a+d)^2-\frac{\mu}{4}(a-d)^2-\frac{mu}{4}(b+c)^2+\frac{\mu}{4}(b-c)^2\),

et donc \(r=4\) et \(s=(2,2)\).

Si \(\lambda\neq0\),

\[\begin{align*}\ensuremath Q(f)&=\lambda a^2+\mu ad + (2\lambda-\mu)bc +\lambda d^2=\lambda\left(a+\frac{\mu}{2\lambda}d\right)^2 +(2\lambda-\mu)bc +\left(\lambda-\frac{\mu^2}{4\lambda}\right)d^2\\ &=\lambda\left(a+\frac{\mu}{2\lambda}d\right)^2+\left(\lambda-\frac{\mu^2}{4\lambda}\right)d^2+ \frac{2\lambda-\mu}{4}(b+c)^2-\frac{2\lambda-\mu}{4}(b-c)^2. \end{align*}\]

Maintenant, les quatre formes linéaires \((a,b,c,d)\mapsto a+\frac{\mu}{2\lambda}d\), \((a,b,c,d)\mapsto d\), \((a,b,c,d)\mapsto b+c\) et \((a,b,c,d)\mapsto b-c\) sont linéairement indépendantes. Donc

- si \(\mu=2\lambda\;(\neq0)\), \(r=1\),

- si \(\mu=-2\lambda\;(\neq2\lambda)\), \(r=3\),

- si \(|\mu|\neq2|\lambda|\;(\neq0)\), \(r=4\).

En particulier, si \(\lambda=1\) et \(\mu=0\), alors \(r=4\) et \(s=(3,1)\) et si \(\lambda= 0\) et \(\mu= 1\), \(r=4\) et \(s = (2,2)\).

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