On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : \[T_{\alpha} : \begin{array}{ccl} \R[X] & \rightarrow & \R[X] \\ P & \mapsto & X(X-1)P''+(1+\alpha X)P' \end{array}\]
Montrer que pour tout entier \(n>0\), la restriction de \(T_{\alpha}\) à \(\R_{n}[X]\) défini un endomorphisme de \(\R_{n}[X]\).
On suppose pour cette question que \(n=3\).
Ecrire la matrice de \(T_{\alpha}\) dans la base \((1,X,X^{2},x^{3})\).
Déterminer les valeurs propores de \(T_{\alpha}\). On les note \(\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\).
Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(T_{\alpha}\) a des valeurs propres multiples.
Donner un vecteur propre de \(T_{\alpha}\) pour chaque valeur propre, lorsque \(\alpha=-1\), puis \(\alpha=-4\). L’endomorphisme \(T_{-4}\) est-il diagonalisable ?