L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 6 questions

exo7 1644

On considère un réel $\alpha$ et l’application $T_{\alpha}$ suivante : $T_{\alpha} : \begin{array}{ccl} \R[X] & \rightarrow & \R[X] \\ P & \mapsto & X(X-1)P''+(1+\alpha X)P' \end{array}$

Montrer que pour tout entier $n>0$ , la restriction de $T_{\alpha}$ à $\R_{n}[X]$ défini un endomorphisme de $\R_{n}[X]$ .

On suppose pour cette question que $n=3$ .

Ecrire la matrice de $T_{\alpha}$ dans la base $(1,X,X^{2},x^{3})$ .

Déterminer les valeurs propores de $T_{\alpha}$ . On les note $\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ .

Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $T_{\alpha}$ a des valeurs propres multiples.

Donner un vecteur propre de $T_{\alpha}$ pour chaque valeur propre, lorsque $\alpha=-1$ , puis $\alpha=-4$ . L’endomorphisme $T_{-4}$ est-il diagonalisable ?