On veut résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(x^2+y^2=z^2\) (de tels triplets d’entiers relatifs sont appelés triplets pythagoriciens, comme par exemple \((3,4,5)\)).
Montrer que l’on peut se ramener au cas où \(x\wedge y\wedge z=1\). Montrer alors que dans ce cas, \(x\), \(y\) et \(z\) sont de plus deux à deux premiers entre eux.
On suppose que \(x\), \(y\) et \(z\) sont deux à deux premiers entre eux. Montrer que deux des trois nombres \(x\), \(y\) et \(z\) sont impairs le troisième étant pair puis que \(z\) est impair.
On suppose dorénavant que \(x\) et \(z\) sont impairs et \(y\) est pair. On pose \(y=2y'\), \(X=\frac{z+x}{2}\) et \(Z=\frac{z-x}{2}\).
Montrer que \(X\wedge Z=1\) et que \(X\) et \(Z\) sont des carrés parfaits.
En déduire que l’ensemble des triplets pythagoriciens est l’ensemble des triplets de la forme
\[(d(u^2-v^2),\;2duv,\;d(u^2+v^2))\]
où \(d\in\Nn\), \((u,v)\in\Zz^2\), à une permutation près des deux premières composantes.