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Montrer que l’on peut se ramener au cas où $x\wedge y\wedge z=1$. Montrer alors que dans ce cas, $x$, $y$ et $z$ sont de plus deux à deux premiers entre eux.

On suppose que $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux premiers entre eux. Montrer que deux des trois nombres $x$, $y$ et $z$ sont impairs le troisième étant pair puis que $z$ est impair.

On suppose dorénavant que $x$ et $z$ sont impairs et $y$ est pair. On pose $y=2y'$, $X=\frac{z+x}{2}$ et $Z=\frac{z-x}{2}$.

Montrer que $X\wedge Z=1$ et que $X$ et $Z$ sont des carrés parfaits.

En déduire que l’ensemble des triplets pythagoriciens est l’ensemble des triplets de la forme

$$(d(u^2-v^2),\;2duv,\;d(u^2+v^2))$$

où $d\in\Nn$, $(u,v)\in\Zz^2$, à une permutation près des deux premières composantes.