Un automorphisme d’un corps \(\mathbb{K}\) est une application bijective \(\varphi\) de \(\mathbb{K}\) dans lui-même telle que \(\varphi (1)=1,\) \(\varphi (0)=0\) et, pour tout \(a,b \in \mathbb{K} ,\) on ait \(\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)\) et \(\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b).\)
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Soit \(\varphi\) un automorphisme de \(\Rr .\) Montrer que l’application \(x\mapsto \varphi (x)\) est croissante. En déduire que l’identité est le seul automorphisme de \(\Rr\).
2
Soit \(\psi\) un automorphisme continu de \(\Cc .\) Montrer \(\psi (x)= x,\) pour tout \(x\in \Rr .\) En déduire tous les automorphismes continus de \(\Cc\).