L2 Algèbre Groupe, anneau, corps Prépa MPSI · MP2I 2 questions

exo7 1384

Un automorphisme d’un corps K\mathbb{K} est une application bijective φ\varphi de K\mathbb{K} dans lui-même telle que φ(1)=1,\varphi (1)=1, φ(0)=0\varphi (0)=0 et, pour tout a,b∈K,a,b \in \mathbb{K} , on ait φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b) et φ(ab)=φ(a)φ(b).\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b).

1

Soit φ\varphi un automorphisme de R.\Rr . Montrer que l’application x↦φ(x)x\mapsto \varphi (x) est croissante. En déduire que l’identité est le seul automorphisme de R\Rr.

2

Soit ψ\psi un automorphisme continu de C.\Cc . Montrer ψ(x)=x,\psi (x)= x, pour tout x∈R.x\in \Rr . En déduire tous les automorphismes continus de C\Cc.

Exercice kG35

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