Soit \(P(z) = az^2+bz+c\), et \(\Delta = b^2-4ac\), si \(\Delta \geq 0\) alors les racines sont réelles, seul le cas où \(\Delta < 0\) nous intéresse. Première méthode : il suffit de regarder les deux solutions et de vérifier qu’elles sont conjuguées...

Seconde méthode : si \(z\) est une racine de \(P\) i.e. \(P(z) = 0\), alors \[P(\overline{z}) = a{\overline{z}}^2+b\overline{z}+c = \overline{az^2+b^z+c} = \overline{P(z)} = 0.\] Donc \(\overline{z}\) est aussi une racine de \(P\). Or \(z\) n’est pas un nombre réel (car \(\Delta < 0\) ) donc \(\overline{z} \not= z\). Sachant que le polynôme \(P\) de degré \(2\) a exactement \(2\) racines, ce sont \(z\) et \(\overline{z}\) et elles sont conjuguées.

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