Soit $P(z) = az^2+bz+c$ , et $\Delta = b^2-4ac$ , si $\Delta \geq 0$ alors les racines sont réelles, seul le cas où $\Delta < 0$ nous intéresse. Première méthode : il suffit de regarder les deux solutions et de vérifier qu’elles sont conjuguées...

Seconde méthode : si $z$ est une racine de $P$ i.e. $P(z) = 0$ , alors $P(\overline{z}) = a{\overline{z}}^2+b\overline{z}+c = \overline{az^2+b^z+c} = \overline{P(z)} = 0.$ Donc $\overline{z}$ est aussi une racine de $P$ . Or $z$ n’est pas un nombre réel (car $\Delta < 0$ ) donc $\overline{z} \not= z$ . Sachant que le polynôme $P$ de degré $2$ a exactement $2$ racines, ce sont $z$ et $\overline{z}$ et elles sont conjuguées.

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