Si \(z=x+\lambda y\), alors \(\dot z=x(1+3\lambda)+y(1-\lambda)\). Pour que \(\dot z\) soit proportionnel à \(z\), il suffit que \(\lambda(1+3\lambda) =1-\lambda\), autrement dit \(3\lambda^2+2\lambda-1=0\). Il y a deux solutions : \(a=-1\) et \(b=1/3\). On pose \(u=x-y\) et \(v=x+\frac 13 y\). On a alors : \(\dot u=-2u\) et \(\dot v=2v\). On en déduit que les solutions \(u\) et \(v\) sont de la forme \(u(t)=C_1 e^{-2t}\) et \(v(t)=C_2e^{2t}\), avec \(C_1,C_2\in\mathbb{R}\). De plus, \[\left\{\begin{array}{rcl} u&=&x-y\\ v&=&x+\frac 13 y \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} x&=&\frac 14(u+3v)\\ y&=&\frac 34(v-u) \end{array}\right.\] Donc les solutions du système différentiel sont les couples de fonctions \((x,y)\) de la forme \[x(t)=D_1 e^{-2t}+3D_2e^{2t},\ y(t)=-3D_1 e^{-2t}+3D_2e^{2t},\ D_1,D_2\in\mathbb{R}.\]

On veut \(x(0)=2\) et \(y(0)=-2\). Ceci est équivalent à \[\left\{\begin{array}{rcrcr} D_1&+&3D_2&=&2\\ -3D_1&+&3D_2&=&-2 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} D_1&=&1\\D_2&=&1/3 \end{array}\right.\] Conclusion : il y a une unique solution, donnée par \[x(t)=e^{-2t}+e^{2t},\ y(t)=-3e^{-2t}+e^{2t}.\]

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