Si $z=x+\lambda y$ , alors $\dot z=x(1+3\lambda)+y(1-\lambda)$ . Pour que $\dot z$ soit proportionnel à $z$ , il suffit que $\lambda(1+3\lambda) =1-\lambda$ , autrement dit $3\lambda^2+2\lambda-1=0$ . Il y a deux solutions : $a=-1$ et $b=1/3$ . On pose $u=x-y$ et $v=x+\frac 13 y$ . On a alors : $\dot u=-2u$ et $\dot v=2v$ . On en déduit que les solutions $u$ et $v$ sont de la forme $u(t)=C_1 e^{-2t}$ et $v(t)=C_2e^{2t}$ , avec $C_1,C_2\in\mathbb{R}$ . De plus, $\left\{\begin{array}{rcl} u&=&x-y\\ v&=&x+\frac 13 y \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} x&=&\frac 14(u+3v)\\ y&=&\frac 34(v-u) \end{array}\right.$ Donc les solutions du système différentiel sont les couples de fonctions $(x,y)$ de la forme $x(t)=D_1 e^{-2t}+3D_2e^{2t},\ y(t)=-3D_1 e^{-2t}+3D_2e^{2t},\ D_1,D_2\in\mathbb{R}.$

On veut $x(0)=2$ et $y(0)=-2$ . Ceci est équivalent à $\left\{\begin{array}{rcrcr} D_1&+&3D_2&=&2\\ -3D_1&+&3D_2&=&-2 \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr} D_1&=&1\\D_2&=&1/3 \end{array}\right.$ Conclusion : il y a une unique solution, donnée par $x(t)=e^{-2t}+e^{2t},\ y(t)=-3e^{-2t}+e^{2t}.$

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