On considère l’équation différentielle : \(-y'' + \frac y{p^2} = f\) où \(p\in\N^*\) et \(f\) est une fonction continue donnée.
1
Donner les solutions de cette équation. Montrer que \(x \mapsto - \int_{t=0}^x pf(t)\sh\Bigl(\frac{x-t}p\Bigr)\,d t\) est solution.
2
Montrer qu’il existe une unique solution telle que \(y(0) = y(1) = 0\). On la note \(u_p\).
3
Montrer que \((u_p)\) converge simplement vers une fonction que l’on déterminera.