Une fonction \(f:[0;1]\to\R\) convient si et seulement si

\(f\) est dérivable
\(f\) est solution de \(y'+y=c\)
\(f\) vérifie \(f(0)+f(1)=c\) (où \(c\) est un réel quelconque)

Or les solutions de l’équation différentielle \(y'+y=c\) sont exactement les \(f:x\mapsto \lambda e^{-x}+c\), où \(\lambda\in\R\) (en effet, on voit facilement que la fonction constante égale à \(c\) est une solution particulière de \(y'+y=c\)). Évidemment ces fonctions sont dérivables, et \(f(0)+f(1)=\lambda(1+e^{-1})+2c\), donc la troisième condition est satisfaite si et seulement si \(-\lambda(1+e^{-1})=c\).

Ainsi les solutions du problème sont exactement les \[f(x)=\lambda(e^{-x}-1-e^{-1})\] pour \(\lambda\in\R\).

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