Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
Soit \(\{ e_1, e_2 ,e_3 \}\) une base orthonormée de \(E .\) Soient \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\) et \(y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\) deux vecteurs de \(E .\) Calculer \(\langle x,y\rangle\) en fonction des coefficients \(x_i\) et \(y_i\) (pour \(i\in \{ 1,2,3\}\)).
On considère \(u \in \mathcal{L} (E)\) un endomorphisme auto-adjoint. On note \(\lambda\) sa plus petite valeur propre et \(\lambda '\) sa plus grande valeur propre. Montrer que l’on a, pour tout \(x\) appartenant à \(E ,\) les inégalités : \[\lambda \Vert x\Vert ^2 \leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda ' \Vert x\Vert ^2.\] (On utilisera une base orthonormée convenable.)
Soit \(v \in \mathcal{L} (E)\) un endomorphisme quelconque. Montrer que \(\displaystyle {u= \frac{1}{ 2} (v+v^*)}\) est auto-adjoint. Soient \(\mu\) une valeur propre de \(v ,\) \(\lambda\) la plus petite valeur propre de \(u\) et \(\lambda '\) la plus grande valeur propre de \(u .\) Montrer que \(\lambda \leq \mu \leq \lambda ' .\)