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Soit $\{ e_1, e_2 ,e_3 \}$ une base orthonormée de $E .$ Soient $x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3$ et $y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3$ deux vecteurs de $E .$ Calculer $\langle x,y\rangle$ en fonction des coefficients $x_i$ et $y_i$ (pour $i\in \{ 1,2,3\}$).

On considère $u \in \mathcal{L} (E)$ un endomorphisme auto-adjoint. On note $\lambda$ sa plus petite valeur propre et $\lambda '$ sa plus grande valeur propre. Montrer que l’on a, pour tout $x$ appartenant à $E ,$ les inégalités : $$\lambda \Vert x\Vert ^2 \leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda ' \Vert x\Vert ^2.$$ (On utilisera une base orthonormée convenable.)

Soit $v \in \mathcal{L} (E)$ un endomorphisme quelconque. Montrer que $\displaystyle {u= \frac{1}{ 2} (v+v^*)}$ est auto-adjoint. Soient $\mu$ une valeur propre de $v ,$ $\lambda$ la plus petite valeur propre de $u$ et $\lambda '$ la plus grande valeur propre de $u .$ Montrer que $\lambda \leq \mu \leq \lambda ' .$