Soit \(a\in\R\). On pose pour \(P\in\R[X]\) : \(N_a(P) = |P(a)| + \int_{t=0}^1 |P'(t)|\,d t\). Montrer que…
1
\(N_a\) est une norme.
2
\(N_0\) et \(N_1\) sont équivalentes.
3
Si \(a,b\in{[0,1]}\), alors \(N_a\) et \(N_b\) sont équivalentes.
4
Soit \(P_n = (X/2)^n\). Déterminer pour quelles normes \(N_a\) la suite \((P_n)\) est convergente et quelle est sa limite.
5
Si \(0 \le a < b\) et \(b > 1\) alors aucune des normes \(N_a\), \(N_b\) n’est plus fine que l’autre.