Emmanuel, étudiant en ESM3, se demande combien de temps ses camarades ont révisé en moyenne pour l’examen de statistique inférentielle. Il estime que ce temps moyen est d’environ 3 heures. Mathis n’est pas d’accord : selon lui, les étudiants ont révisé davantage qu’ils ne le laissent paraître.
Pour départager leurs points de vue, Emmanuel interroge 6 camarades et obtient les temps de révision suivants (en heures) : \[0{,}5 \quad 5 \quad 1 \quad 8 \quad 3 \quad 0{,}083\] On suppose que le temps de révision suit une loi normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma)\) avec \(\mu\) et \(\sigma\) inconnus.
Construire un test statistique permettant de départager les hypothèses d’Emmanuel (\(\mu = 3\) h) et de Mathis (\(\mu > 3\) h), au risque de première espèce \(\alpha = 5\%\).
Mathis pense désormais que le temps moyen de révision est plutôt de \(\mu_1 = 4{,}5\) h. En supposant la variance connue et égale à \(\sigma^2 = 8\) h\(^2\), calculer la puissance du test \(H_0 : \mu = 3\) contre \(H_1 : \mu = 4{,}5\) au niveau \(\alpha = 5\%\). Commenter.
Après l’examen, Emmanuel et Mathis s’interrogent sur la distribution des notes. Ils souhaitent tester l’hypothèse selon laquelle les notes suivent une loi binomiale \(\mathcal{B}\!\left(5;\frac{1}{2}\right)\). L’examen est noté sur 5 et 96 étudiants ont composé. Le tableau des effectifs observés est le suivant :
| Note | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif observé | 1 | 5 | 33 | 44 | 12 | 1 |
À l’aide d’un test du \(\chi^2\) d’adéquation au risque \(\alpha = 2{,}5\%\), tester l’hypothèse que les notes suivent une loi \(\mathcal{B}\!\left(5;\frac{1}{2}\right)\). On pensera à regrouper les notes \(\{0,1\}\) et \(\{4,5\}\) pour éviter les effectifs trop faibles dans une classe.