exo7 234

Montrer par récurrence sur $n$ que $\sum\limits_{k = p}^n C_k^p = C_{n + 1}^{p + 1}$.

Écrire ces égalités pour $p = 2$ et $p = 3$.

En déduire les sommes $$S_2' = 1. 2 + 2. 3 + \ldots + (n-1).n \qquad S_2 = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2$$ $$S_3' = 1^2. 2 + 2^2. 3 + \ldots + (n-1)^2.n \qquad S_3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3$$