Soient \(0 \leq p \leq n\).
1
Montrer par récurrence sur \(n\) que \(\sum\limits_{k = p}^n C_k^p = C_{n + 1}^{p + 1}\).
2
Écrire ces égalités pour \(p = 2\) et \(p = 3\).
3
En déduire les sommes \[S_2' = 1. 2 + 2. 3 + \ldots + (n-1).n \qquad S_2 = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\] \[S_3' = 1^2. 2 + 2^2. 3 + \ldots + (n-1)^2.n \qquad S_3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3\]