Soit \(D=\text{diag}(\lambda_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{D}_n(\Rr)\). Pour \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\),

\(\|DX\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i^2x_i^2}\leqslant\sqrt{(\rho(D))^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2}=\rho(D)\|X\|_2\),

De plus, si \(\lambda\) est une valeur propre de \(D\) telle que \(|\lambda|=\rho(D)\) et \(X_0\) est un vecteur propre associé, alors

\(\|DX_0\|_2=\|\lambda X_0\|_2=|\lambda|\|X_0\|_2=\rho(D)\|X_0\|_2\).

En résumé

(1) \(\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\), \(\frac{\|DX\|_2}{\|X\|_2}\leqslant\rho(D)\),

(2) \(\exists X_0\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\), \(\frac{\|DX_0\|_2}{\|X_0\|_2}=\rho(D)\).

On en déduit que \(\forall D\in\mathcal{D}_n(\Rr)\), \(|||D|||_2=\rho(D)\).

Soit alors \(A\in\mathcal{S}_n(\Rr)\). D’après le théorème spectral, il existe \(P\in O_n(\Rr)\) et \(D=\text{diag}(\lambda_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{D}_n(\Rr)\) tel que \(A=PD{^t}P\). De plus \(\rho(A)=\rho(D)\). Pour \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\),

\[\begin{align*}\ensuremath \|AX\|_2&=\|PD{^t}PX\|_2\\ &=\|D({^t}PX)\|_2\;(\text{car}\;P\in O_n(\Rr)\Rightarrow\forall Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;\|PY\|_2=\|Y\|_2)\\ &=\|DX'\|_2\;\text{où on a posé}\;X'={^t}PX. \end{align*}\]

Maintenant l’application \(X\mapsto{^t}PX=X'\) est une permutation de \(\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\) car la matrice \({^t}P\) est inversible et donc \(X\) décrit \(\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\) si et seulement si \(X'\) décrit \(\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\). De plus, pour tout vecteur colonne \(X\), \(\|X'\|_2=\|{^t}PX\|_2=\|X\|_2\). On en déduit que \(\left\{ \frac{\|AX\|_2}{\|X\|_2},\;X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\right\}=\left\{ \frac{\|DX'\|_2}{\|X'\|_2},\;X'\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\right\}\) et en particulier,

\(|||A|||_2=|||D|||_2=\rho(D)=\rho(A)\).

Remarque. L’application \(A\mapsto\rho(A)\) est donc une norme sur \(\mathcal{S}_n(\Rr)\) et de plus cette norme est sous-multiplicative.

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