Soit $D=\text{diag}(\lambda_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{D}_n(\Rr)$ . Pour $X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ ,

$\|DX\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i^2x_i^2}\leqslant\sqrt{(\rho(D))^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2}=\rho(D)\|X\|_2$ ,

De plus, si $\lambda$ est une valeur propre de $D$ telle que $|\lambda|=\rho(D)$ et $X_0$ est un vecteur propre associé, alors

$\|DX_0\|_2=\|\lambda X_0\|_2=|\lambda|\|X_0\|_2=\rho(D)\|X_0\|_2$ .

En résumé

(1) $\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}$ , $\frac{\|DX\|_2}{\|X\|_2}\leqslant\rho(D)$ ,

(2) $\exists X_0\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}$ , $\frac{\|DX_0\|_2}{\|X_0\|_2}=\rho(D)$ .

On en déduit que $\forall D\in\mathcal{D}_n(\Rr)$ , $|||D|||_2=\rho(D)$ .

Soit alors $A\in\mathcal{S}_n(\Rr)$ . D’après le théorème spectral, il existe $P\in O_n(\Rr)$ et $D=\text{diag}(\lambda_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{D}_n(\Rr)$ tel que $A=PD{^t}P$ . De plus $\rho(A)=\rho(D)$ . Pour $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ ,

$\begin{align*}\ensuremath \|AX\|_2&=\|PD{^t}PX\|_2\\ &=\|D({^t}PX)\|_2\;(\text{car}\;P\in O_n(\Rr)\Rightarrow\forall Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;\|PY\|_2=\|Y\|_2)\\ &=\|DX'\|_2\;\text{où on a posé}\;X'={^t}PX. \end{align*}$

Maintenant l’application $X\mapsto{^t}PX=X'$ est une permutation de $\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ car la matrice ${^t}P$ est inversible et donc $X$ décrit $\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ si et seulement si $X'$ décrit $\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ . De plus, pour tout vecteur colonne $X$ , $\|X'\|_2=\|{^t}PX\|_2=\|X\|_2$ . On en déduit que $\left\{ \frac{\|AX\|_2}{\|X\|_2},\;X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\right\}=\left\{ \frac{\|DX'\|_2}{\|X'\|_2},\;X'\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\right\}$ et en particulier,

$|||A|||_2=|||D|||_2=\rho(D)=\rho(A)$ .

$\forall A\in\mathcal{S}_n(\Rr)$ , $|||A|||_2=\text{Sup}\left\{ \frac{\|AX\|_2}{\|X\|_2},\;X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\right\}=\rho(A)$ .

Remarque. L’application $A\mapsto\rho(A)$ est donc une norme sur $\mathcal{S}_n(\Rr)$ et de plus cette norme est sous-multiplicative.

exo7 5863