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Soit $A \in \mathcal{M}_p(\R)$. On suppose que la suite de matrices : $A_n = I + A + A^2 + \dots + A^n$ converge vers une matrice $B$. Montrer que $I-A$ est inversible, et $B = (I-A)^{-1}$.

Remarque : La réciproque est fausse, c’est à dire que la suite $(A_n)$ peut diverger même si $I-A$ est inversible. Chercher un contre-exemple.