Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice \[A=\begin{pmatrix}0&1&0 \\ 0&a&0 \\ 0&a-2&2\end{pmatrix}.\]
1
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Lorsque \(A\) est diagonalisable, déterminer une base de vecteurs propres de \(A\).
2
Soit \(E\) l’espace vectoriel des solutions du système \(x'=Ax\), où \(x\) est une fonction de la variable réelle \(t\) à valeur dans \(\R^3\).
3
Lorsque \(A\) est diagonalisable, donner une base de \(E\) en fonction des vecteurs propres et des valeurs propres de \(A\). Ecrire la solution générale du système.
4
Lorsque \(A\) n’est pas diagonalisable, intégrer directement le système \(x'=Ax\).