L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 2609

Soit $a\in\R$ et $A$ la matrice $A=\begin{pmatrix}0&1&0 \\ 0&a&0 \\ 0&a-2&2\end{pmatrix}.$

Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

Lorsque $A$ est diagonalisable, déterminer une base de vecteurs propres de $A$ .

Soit $E$ l’espace vectoriel des solutions du système $x'=Ax$ , où $x$ est une fonction de la variable réelle $t$ à valeur dans $\R^3$ .

Lorsque $A$ est diagonalisable, donner une base de $E$ en fonction des vecteurs propres et des valeurs propres de $A$ . Ecrire la solution générale du système.

Lorsque $A$ n’est pas diagonalisable, intégrer directement le système $x'=Ax$ .