Notons \((D_1)\), \((D_2)\) et \((D_3)\) les droites d’équations respectives \(y=2x+1\), \(y=2x+7\) et \(y=-\frac{1}{2}x\). Soit \(\mathcal{C}\) un cercle.

Les droites \((D_1)\) et \((D_2)\) sont parallèles. Donc, \(\mathcal{C}\) est un cercle tangent à \((D_1)\) et \((D_2)\) si et seulement si son centre est sur l’ensemble des points à égale distance de \((D_1)\) et \((D_2)\) à savoir la droite d’équation \(y=2x+4\) et son rayon est la moitié de la distance de \((D_1)\) à \((D_2)\), ou encore la moitié de la distance d’un point de \((D_1)\), par exemple \((0,1)\), à \((D_2)\). Cette distance vaut \(\frac{|2.0-1+7|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\). Finalement, \(\mathcal{C}\) est un cercle tangent à \((D_1)\) et \((D_2)\) si et seulement si son centre \(\Omega\) a des coordonnées de la forme \((a,2a+4)\), \(a\in\Rr\), et son rayon vaut \(\frac{3}{\sqrt{5}}\).

Un cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\frac{3}{\sqrt{5}}\) est tangent à \((D_3)\) si et seulement si la distance de \(\Omega\) à \((D_3)\) est le rayon \(\frac{3}{\sqrt{5}}\). Donc,

\[\begin{align*} \mathcal{C}\;\mbox{solution}&\Leftrightarrow d(\Omega,(D_3))=\frac{3}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow\frac{|a+2(2a+4)|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow|5a+8|=3\\ &\Leftrightarrow5a+8=3\;\mbox{ou}\;5a+8=-3\Leftrightarrow a=-1\;\mbox{ou}\;a=-\frac{11}{5} \end{align*}\]

On trouve deux cercles solutions, le cercle \(\mathcal{C}_1\) de centre \(\Omega_1(-1,2)\) et de rayon \(\frac{3}{\sqrt{5}}\) et le cercle \(\mathcal{C}_2\) de centre \(\Omega_2(-\frac{11}{5},-\frac{2}{5})\) et de rayon \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)

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