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Soit $\alpha\in\Cc$ tel que $\text{Re}(\alpha) > 0$. Soit $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ de classe $C^1$ sur $\Rr$.

On suppose que quand $x$ tend vers $+\infty$, $f'+\alpha f$ tend vers $\ell\in\Cc$. Montrer que $f(x)$ tend vers $\frac{\ell}{\alpha}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Soit $f~:~\Rr\rightarrow\Cc$ de classe $C^2$ sur $\Rr$ telle que $\lim_{x \rightarrow +\infty}(f+f'+f'')(x) = 0$. Montrer que $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0$.

Soient $n\in\Nn^*$ et $f~:~\Rr\rightarrow\Cc$ de classe $C^n$ sur $\Rr$.

On note $D$ l’opérateur de dérivation. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ unitaire dont tous les zéros ont des parties réelles strictement négatives. Montrer que $\lim_{x \rightarrow +\infty}(P(D))(f)(x)= 0\Rightarrow\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0$.