Soit \(\alpha\in\Cc\) tel que \(\text{Re}(\alpha) > 0\). Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\).
On suppose que quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(f'+\alpha f\) tend vers \(\ell\in\Cc\). Montrer que \(f(x)\) tend vers \(\frac{\ell}{\alpha}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Cc\) de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) telle que \(\lim_{x \rightarrow +\infty}(f+f'+f'')(x) = 0\). Montrer que \(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0\).
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(f~:~\Rr\rightarrow\Cc\) de classe \(C^n\) sur \(\Rr\).
On note \(D\) l’opérateur de dérivation. Soit \(P\) un polynôme de degré \(n\) unitaire dont tous les zéros ont des parties réelles strictement négatives. Montrer que \(\lim_{x \rightarrow +\infty}(P(D))(f)(x)= 0\Rightarrow\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0\).