Un point du plan est sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) si et seulement si son affixe \(z\) est de module \(1\) ou encore si et seulement si il existe un réel \(\theta\) tel que \(z=e^{i\theta}\). Or, pour \(\theta\) réel,

\[f(e^{i\theta})=\frac{1}{1+e^{i\theta}+e^{2i\theta}}=\frac{e^{-i\theta}}{e^{i\theta}+1+e^{-i\theta}} =\overline{\left(\frac{e^{i\theta}}{1+2\cos\theta}\right)}.\] L’ensemble cherché est donc la symétrique par rapport à \((Ox)\) de la courbe d’équation polaire \(r=\frac{1}{1+2\cos\theta}\). Cette dernière est une ellipse, symétrique par rapport à \((0x)\). Donc l’ensemble cherché est l’ellipse d’équation polaire \(r=\frac{1}{1+2\cos\theta}\) (voir l’exercice [exo:routhe4], 1)).

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