Soit \({\cal S}\) une quadrique d’équation \(f(x,y,z) = 0\). On note \(q\) la forme quadratique associée à \(f\).
1
Montrer que, pour tout point \(A\) et tout vecteur \(\vec h\), on a : \(f(A+\vec h) = f(A) + (\vec{\nabla f}(A)\mid \vec h) + q(\vec h)\).
2
On suppose que \({\cal S}\) n’est pas incluse dans un plan. Montrer qu’un point \(\Omega\) est centre de symétrie de \({\cal S}\) si et seulement si \(\vec{\nabla f}(\Omega) = \vec 0\).
3
En déduire que si \(0\) n’est pas valeur propre de la matrice de \(q\), alors \({\cal S}\) admet un centre unique.