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Soit $G$ un $p$-groupe opérant sur un ensemble fini $X$ et soit $Fix(G):=\{x\in X \mid gx=x,\; \forall g\in G \}$. Montrer que card $X=$ card $Fix(G)$ (mod $p$). En déduire que le centre d’un $p$-groupe est toujours non-trivial.