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Soit la fonction $f\colon\R^2\to\R$ définie par $f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}, \quad (x,y)\not=(0,0)$ et $f(0,0)=0$ .

Montrer que $f$ est continue et que, quel que soit $v\in\R^2$ , la dérivée directionnelle $D_vf(x,y)$ existe en chaque $(x,y)\in\R^2$ mais que $f$ n’est pas différentiable en $(0,0)$ .

La dérivée directionnelle $D_vf(0,0)$ est-elle linéaire en $v$ ? Les droites appartenant à la famille des droites passant par l’origine et de vecteurs directeurs $(v, D_vf(0,0))\in\R^3$ , forment-elles un plan? Expliquer comment on peut observer la réponse sur la figure.

Le vecteur $v$ étant fixé, qu’est-ce qu’on peut dire de la continuité de $D_vf(x,y)$ en $(x,y)$ ?

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