Soit la fonction \(f\colon\R^2\to\R\) définie par \[f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}, \quad (x,y)\not=(0,0)\] et \(f(0,0)=0\).
1
Montrer que \(f\) est continue et que, quel que soit \(v\in\R^2\), la dérivée directionnelle \(D_vf(x,y)\) existe en chaque \((x,y)\in\R^2\) mais que \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\).
2
La dérivée directionnelle \(D_vf(0,0)\) est-elle linéaire en \(v\)? Les droites appartenant à la famille des droites passant par l’origine et de vecteurs directeurs \((v, D_vf(0,0))\in\R^3\), forment-elles un plan? Expliquer comment on peut observer la réponse sur la figure.
3
Le vecteur \(v\) étant fixé, qu’est-ce qu’on peut dire de la continuité de \(D_vf(x,y)\) en \((x,y)\)?
