Suivant l’indication, le plan tangent à la surface d’équation $z=4x^2 +y^2$ au point $(x_0,y_0,z_0)$ est donné par l’équation $\begin{align*} z&=z_0 +8x_0 (x-x_0) + 2y_0 (y-y_0) \\ &= 8x_0x +2y_0 y +z_0 - 8x^2_0 - 2y^2_0= 8x_0x +2y_0 y - z_0 \end{align*}$ d’où par $\begin{equation} z-8x_0x -2y_0 y = z_0. \label{tang2} \end{equation}$ Pour que ce plan soit parallèle au plan d’équation $x+2y+z=6$ il faut et il suffit que $(1,2)=(-8x_0, -2y_0)$ d’où que $x_0=-1/8$ et $y_0=-1$ . Par conséquent, le point cherché sur le paraboloı̈de $z=4x^2 +y^2$ est le point $(-1/8,-1,17/16)$ . De même, pour que le plan [tang2] soit parallèle au plan d’équation $3x+5y-2z=3$ il faut et il suffit que $(3/2,5/2)=(8x_0, 2y_0)$ d’où que $x_0=3/16$ et $y_0=5/4$ , et le point cherché sur le paraboloı̈de $z=4x^2 +y^2$ est alors le point $(3/16,5/4,9/64+25/16)$ = $(3/16,5/4,109/64)$ .

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