Soit \(f : {\cal E} \to {\cal E}\) affine. On dit que \(f\) est une symétrie-translation s’il existe une symétrie \(s\) et une translation \(t\) telles que \(f = s\circ t = t\circ s\).
Soient \(s\) une symétrie de base \(\cal B\) de direction \(\vec {\cal F}\), et \(t\) une translation de vecteur \(\vec u\).
Montrer que \(s\circ t = t\circ s \iff \vec u \in \vec {\cal B}\).
Soit \(f\) une symétrie-translation. Montrer que le couple \((s,t)\) tel que \(f = s\circ t = t\circ s\) est unique.
Soit \(f\) affine quelconque. Montrer que \(f\) est une symétrie-translation si et seulement si \(f\circ f\) est une translation.
En déduire que le produit d’une symétrie par une translation quelconques est une symétrie-translation.
AN : décomposer l’application \(f\) d’expression analytique dans un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) : \[\begin{cases}x' = (x-2y-2z+1)/3 \cr y' = (-2x+y-2z+2)/3 \cr z' = (-2x-2y+z-1)/3.\cr\end{cases}\]