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Soient $s$ une symétrie de base $\cal B$ de direction $\vec {\cal F}$, et $t$ une translation de vecteur $\vec u$.

Montrer que $s\circ t = t\circ s \iff \vec u \in \vec {\cal B}$.

Soit $f$ une symétrie-translation. Montrer que le couple $(s,t)$ tel que $f = s\circ t = t\circ s$ est unique.

Soit $f$ affine quelconque. Montrer que $f$ est une symétrie-translation si et seulement si $f\circ f$ est une translation.

En déduire que le produit d’une symétrie par une translation quelconques est une symétrie-translation.

AN : décomposer l’application $f$ d’expression analytique dans un repère ${\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ : $$\begin{cases}x' = (x-2y-2z+1)/3 \cr y' = (-2x+y-2z+2)/3 \cr z' = (-2x-2y+z-1)/3.\cr\end{cases}$$