Soit \(f\) une fonction holomorphe dans un ouvert connexe \(\Omega\). On va montrer l’équivalence entre
(i) \(f\) admet un logarithme holomorphe dans \(\Omega\).
(ii) \(f\) admet des racines de tous ordres holomorphes dans \(\Omega\).
On a vu que (i) implique (ii). Supposons maintenant que (ii) est vérifié : pour chaque \(n\) on note \(f_n\) la fonction de \(H(\Omega)\) telle que \(f_n^n(z)=f(z)\) si \(z\in\Omega\).
Soit \(a\) un zéro de \(f\); que peut-on dire de la multiplicité de \(a\) ? En déduire que \(f\) ne s’annule pas sur \(\Omega\).
Soit \(\gamma\) une courbe fermée dans \(\Omega\) de classe \(C^1\) par morceaux. On pose \(I={1\over 2\pi i}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}\ dz\), et \(I_n={1\over 2\pi i}\int_\gamma {f_n'(z)\over f_n(z)}\ dz\). Montrer que \(I\) et \(I_n\) sont des entiers, \(I=nI_n\), puis que \(I=0\). Conclure.