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Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert connexe $\Omega$ . On va montrer l’équivalence entre

(i) $f$ admet un logarithme holomorphe dans $\Omega$ .

(ii) $f$ admet des racines de tous ordres holomorphes dans $\Omega$ .

On a vu que (i) implique (ii). Supposons maintenant que (ii) est vérifié : pour chaque $n$ on note $f_n$ la fonction de $H(\Omega)$ telle que $f_n^n(z)=f(z)$ si $z\in\Omega$ .

Soit $a$ un zéro de $f$ ; que peut-on dire de la multiplicité de $a$ ? En déduire que $f$ ne s’annule pas sur $\Omega$ .

Soit $\gamma$ une courbe fermée dans $\Omega$ de classe $C^1$ par morceaux. On pose $I={1\over 2\pi i}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}\ dz$ , et $I_n={1\over 2\pi i}\int_\gamma {f_n'(z)\over f_n(z)}\ dz$ . Montrer que $I$ et $I_n$ sont des entiers, $I=nI_n$ , puis que $I=0$ . Conclure.

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