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Soit $(G,.)$ un groupe. On appelle conjugaison par $a\in G$ , l’application $f_{a}$ de $G$ dans $G$ définie par $f_{a}(x)=a.x.a^{-1}$ .

Montrer que $f_{a}$ est un automorphisme de $G$ .

Soit $\Gamma=\{f_{a}:a\in G\}$ . Montrer que $(\Gamma,\circ)$ est un groupe.

Soit $\Phi:G\rightarrow\Gamma,a\mapsto f_{a}$ . Vérifier que $\Phi$ est un morphisme. Est-il injectif ? (indication: préciser ce morphisme lorsque $G$ est abélien).

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