Soit \((G,.)\) un groupe. On appelle conjugaison par \(a\in G\), l’application \(f_{a}\) de \(G\) dans \(G\) définie par \(f_{a}(x)=a.x.a^{-1}\).
1
Montrer que \(f_{a}\) est un automorphisme de \(G\).
2
Soit \(\Gamma=\{f_{a}:a\in G\}\). Montrer que \((\Gamma,\circ)\) est un groupe.
3
Soit \(\Phi:G\rightarrow\Gamma,a\mapsto f_{a}\). Vérifier que \(\Phi\) est un morphisme. Est-il injectif ? (indication: préciser ce morphisme lorsque \(G\) est abélien).