Soit \(n \in \Nn^*\) fixé et \({\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}\), \({P (X)} \mapsto {P (X + 1) -P (X)}\).
1
Montrer que \(\Delta\) est linéaire, i.e. que \(\forall (a, b) \in \Rr^2\) et \((P, Q) \in \Rr_n [X] \, \, \Delta (aP + bQ) = a\Delta (P) + b\Delta (Q)\).
2
Déterminer \(\ker (\Delta) = \left\{ P \in \Rr_n[X] / \Delta (P) = 0\right\}\).
3
Soient \(H_0 = 1\) et pour \(k \in \left\{ 1, \ldots, n\right\} \, \, H_k = \dfrac 1{k ! } X (X-1)\ldots (X-k + 1)\). Calculer \(\Delta (H_k)\).
4
Soit \(Q \in \Rr_{n-1}[X]\). Comment trouver \(P \in \Rr_{n}[X]\) tel que \(\Delta (P) = Q\).
5
Déterminer \(P\) pour \(Q = X^2\) tel que \(P (1) = 0\).
6
En déduire la somme \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\).