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Montrer que $\Delta$ est linéaire, i.e. que $\forall (a, b) \in \Rr^2$ et $(P, Q) \in \Rr_n [X] \, \, \Delta (aP + bQ) = a\Delta (P) + b\Delta (Q)$.

Déterminer $\ker (\Delta) = \left\{ P \in \Rr_n[X] / \Delta (P) = 0\right\}$.

Soient $H_0 = 1$ et pour $k \in \left\{ 1, \ldots, n\right\} \, \, H_k = \dfrac 1{k ! } X (X-1)\ldots (X-k + 1)$. Calculer $\Delta (H_k)$.

Soit $Q \in \Rr_{n-1}[X]$. Comment trouver $P \in \Rr_{n}[X]$ tel que $\Delta (P) = Q$.

Déterminer $P$ pour $Q = X^2$ tel que $P (1) = 0$.

En déduire la somme $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2$.