Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose \[\Gamma (x) = \int_0^{+\infty} {t^{x-1} e^{-t}} dt\] (on admettra que l’intégrale converge). Montrer que \(\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\). Calculer la valeur de \(\Gamma(1)\). En déduire celle de \(\Gamma(n)\), pour tout entier \(n>0\).
Soit \(a>0\) un réel, et \(n>0\) un entier. Montrer que \[\int {dt \over (x^2 + a^2)^n} = {1 \over a^{2n-1}} \int \cos^{2n-2}\theta d\theta \qquad \mbox{\rm où}\qquad \theta = \arctan{x \over a}.\] En déduire la primitive de \(\displaystyle{ x+4 \over (x^2+2x+2)^3 }\).
Soient \(x\) et \(y\) deux réels vérifiant \(1>y>x>0\). Calculer \[\lim_{x\to 0 \atop y\to 1} \int_x^y {\ln t \over (1+t)\sqrt{1-t^2}} dt.\]
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([0, +\infty[\). On pose pour tout \(x>0\) et tout entier \(n>0\) \[u_n(x) = \left[ \int_0^x f(t)^n\ dt \right]^{1/n}\] et \[M(x) = \sup_{t \in [0, x]} \left| f(t) \right|.\]
Montrer que \(u_n(x) \leq M(x) x^{1/n}\).
En utilisant la continuité de \(f\), montrer que, quel que soit \(\varepsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que \(u_n(x) \geq \delta^{1/n} [ M(x)-\varepsilon ]\).
En déduire que \[\lim_{n \to +\infty} u_n(x) = M(x).\]