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Fonction Gamma - Pour tout $x>0$, on pose $$\Gamma (x) = \int_0^{+\infty} {t^{x-1} e^{-t}} dt$$ (on admettra que l’intégrale converge). Montrer que $\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$. Calculer la valeur de $\Gamma(1)$. En déduire celle de $\Gamma(n)$, pour tout entier $n>0$.

Soit $a>0$ un réel, et $n>0$ un entier. Montrer que $$\int {dt \over (x^2 + a^2)^n} = {1 \over a^{2n-1}} \int \cos^{2n-2}\theta d\theta \qquad \mbox{\rm où}\qquad \theta = \arctan{x \over a}.$$ En déduire la primitive de $\displaystyle{ x+4 \over (x^2+2x+2)^3 }$.

Soient $x$ et $y$ deux réels vérifiant $1>y>x>0$. Calculer $$\lim_{x\to 0 \atop y\to 1} \int_x^y {\ln t \over (1+t)\sqrt{1-t^2}} dt.$$

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0, +\infty[$. On pose pour tout $x>0$ et tout entier $n>0$ $$u_n(x) = \left[ \int_0^x f(t)^n\ dt \right]^{1/n}$$ et $$M(x) = \sup_{t \in [0, x]} \left| f(t) \right|.$$