D’après l’exercice [exo:suprou2ter], il suffit de montrer que pour \(2\leq i\leq n\), \(\tau_{1,i}\) peut s’écrire en utilisant uniquement \(\tau=\tau_{1,2}\) et \(c=(2\;3\;...\;n\;1)\). On note que \(c^n=Id\).

Tout d’abord, pour \(1\leq i\leq n-1\), étudions \(\sigma=c^{i-1}\circ\tau\circ c^{n-i+1}\).

Soit \(k\in\{1,...,n\}\).

\[\begin{align*}\ensuremath \tau\circ c^{n-i+1}(k)\neq c^{n-i+1}(k)&\leq c^{n-i+1}(k)\in\{1,2\}\Leftrightarrow k\in\{c^{-n+i-1}(1),c^{-n+i-1}(2)\}\Leftrightarrow k\in\{c^{i-1}(1),c^{i-1}(2)\}\\ &\Leftrightarrow k\in\{i,i+1\}. \end{align*}\]

Donc, si \(k\notin\{i,i+1\}\),

\[\sigma(k)=c^{i-1}(k)(\tau\circ c^{n-i+1}(k))=c^{i-1}(c^{n-i+1}(k))=c^n(k)=k,\]

et la restriction de \(\sigma\) à \(\{1,...,n\}\setminus\{i,i+1\}\) est l’identité de cet ensemble. Comme \(\sigma\) n’est pas l’identité puisque \(\sigma(i)\neq i\), \(\sigma\) est donc nécessairement la transposition \(\tau_{i,i+1}\).

On a montré que \(\forall i\in\{1,...,n-1\},\;c^{i-1}\circ\tau \circ c^{n-i+1}=\tau_{i,i+1}\).

Vérifions maintenant que les \(\tau_{1,i}\) s’écrivent à l’aide des \(\tau_{j,j+1}\). D’après l’exercice [exo:suprou2ter], \(\tau_{i,j}=\tau_{1,i}\circ\tau_{1,j}\circ\tau_{1,i}\), et donc bien sûr, plus généralement, \(\tau_{i,j}=\tau_{k,i}\circ\tau_{k,j}\circ\tau_{k,i}\).

Par suite, \(\tau_{1,i}=\tau_{1,2}\circ\tau_{2,i}\circ\tau_{1,2}\) puis, \(\tau_{2,i}=\tau_{2,3}\circ\tau_{3,i}\circ\tau_{2,3}\), puis, \(\tau_{3,i}=\tau_{3,4}\circ\tau_{4,i}\circ\tau_{3,4}\) ... et \(\tau_{i-2,i}=\tau_{i-2,i-1}\circ\tau_{i-1,i}\circ\tau_{i-2,i-1}\). Finalement,

\[\tau_{1,i}=\tau_{1,2}\circ\tau_{2,3}\circ...\circ\tau_{i-2,i-1}\tau_{i-1,i}\circ\tau_{i-2,i-1}\circ...\circ\tau_{2,3}\circ\tau_{1,2},\]

ce qui achève la démonstration.

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