D’après l’exercice [exo:suprou2ter], il suffit de montrer que pour $2\leq i\leq n$ , $\tau_{1,i}$ peut s’écrire en utilisant uniquement $\tau=\tau_{1,2}$ et $c=(2\;3\;...\;n\;1)$ . On note que $c^n=Id$ .

Tout d’abord, pour $1\leq i\leq n-1$ , étudions $\sigma=c^{i-1}\circ\tau\circ c^{n-i+1}$ .

Soit $k\in\{1,...,n\}$ .

$\begin{align*}\ensuremath \tau\circ c^{n-i+1}(k)\neq c^{n-i+1}(k)&\leq c^{n-i+1}(k)\in\{1,2\}\Leftrightarrow k\in\{c^{-n+i-1}(1),c^{-n+i-1}(2)\}\Leftrightarrow k\in\{c^{i-1}(1),c^{i-1}(2)\}\\ &\Leftrightarrow k\in\{i,i+1\}. \end{align*}$

Donc, si $k\notin\{i,i+1\}$ ,

$\sigma(k)=c^{i-1}(k)(\tau\circ c^{n-i+1}(k))=c^{i-1}(c^{n-i+1}(k))=c^n(k)=k,$

et la restriction de $\sigma$ à $\{1,...,n\}\setminus\{i,i+1\}$ est l’identité de cet ensemble. Comme $\sigma$ n’est pas l’identité puisque $\sigma(i)\neq i$ , $\sigma$ est donc nécessairement la transposition $\tau_{i,i+1}$ .

On a montré que $\forall i\in\{1,...,n-1\},\;c^{i-1}\circ\tau \circ c^{n-i+1}=\tau_{i,i+1}$ .

Vérifions maintenant que les $\tau_{1,i}$ s’écrivent à l’aide des $\tau_{j,j+1}$ . D’après l’exercice [exo:suprou2ter], $\tau_{i,j}=\tau_{1,i}\circ\tau_{1,j}\circ\tau_{1,i}$ , et donc bien sûr, plus généralement, $\tau_{i,j}=\tau_{k,i}\circ\tau_{k,j}\circ\tau_{k,i}$ .

Par suite, $\tau_{1,i}=\tau_{1,2}\circ\tau_{2,i}\circ\tau_{1,2}$ puis, $\tau_{2,i}=\tau_{2,3}\circ\tau_{3,i}\circ\tau_{2,3}$ , puis, $\tau_{3,i}=\tau_{3,4}\circ\tau_{4,i}\circ\tau_{3,4}$ ... et $\tau_{i-2,i}=\tau_{i-2,i-1}\circ\tau_{i-1,i}\circ\tau_{i-2,i-1}$ . Finalement,

$\tau_{1,i}=\tau_{1,2}\circ\tau_{2,3}\circ...\circ\tau_{i-2,i-1}\tau_{i-1,i}\circ\tau_{i-2,i-1}\circ...\circ\tau_{2,3}\circ\tau_{1,2},$

ce qui achève la démonstration.

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