$f\left(\frac{k}{2}\right)=\frac{k}{2}+\ln\frac{k}{2}<k$ pour $k$ suffisament grand (car $k-(\frac{k}{2}+\ln\frac{k}{2})=\frac{k}{2}-\ln\frac{k}{2}\underset{k\rightarrow+\infty}{\rightarrow}+\infty$ d’après les théorèmes de croissances comparées). Donc, pour $k$ suffisament grand, $f\left(\frac{k}{2}\right)<f(x_k)$ . Puisque $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ , on en déduit que $x_k>\frac{k}{2}$ pour $k$ suffisament grand et donc que $\lim_{k\rightarrow +\infty}x_k=+\infty$ . Mais alors, $k=x_k+\ln x_k\sim x_k$ et donc, quand $k$ tend vers $+\infty$ ,

$x_k\underset{k\rightarrow+\infty}{=}k+o(k).$

Posons $y_k=x_k-k$ . On a $y_k=o(k)$ et de plus $y_k+\ln(y_k+k)=0$ ce qui s’écrit :

$y_k=-\ln(k+y_k)=-\ln(k+o(k))=-\ln k+\ln(1+o(1))=-\ln k+o(1).$ Donc,

$x_k\underset{k\rightarrow+\infty}{=}k-\ln k+o(1).$

Posons $z_k=y_k+\ln k=x_k-k+\ln k$ . Alors, $z_k=o(1)$ et $-\ln k+z_k=-\ln(k-\ln k+z_k)$ . Par suite,

$z_k=\ln k-\ln(k-\ln k+o(1))=-\ln\left(1-\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)\right)=\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right).$

Finalement,

$x_k\underset{k\rightarrow+\infty}{=}k-\ln k+\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right).$

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