On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : \[f(x,y) = 100 - x^2 - y^2\] On s’intéresse au point \(A\) de coordonnées \((3, 4)\).
Calculer l’altitude au point \(A\).
Montrer que l’équation de la ligne de niveau passant par \(A\) est le cercle d’équation \(x^2 + y^2 = 25\).
On décide de marcher le long de cette ligne de niveau. On peut décrire la position à l’instant \(t\) par le paramétrage suivant : \[\begin{cases} x(t) = 5 \cos(t) \\ y(t) = 5 \sin(t) \end{cases}\] On note \(M(t)\) le point de coordonnées \((x(t), y(t))\).
Calculer le vecteur vitesse (ou vecteur tangent) \(\vec{v}(t)\) en dérivant \(x(t)\) et \(y(t)\) par rapport à \(t\).
Calculer le vecteur gradient \(\vec{\nabla}f\) au point \(M(t)\).
Effectuer le produit scalaire entre le vecteur gradient \(\vec{\nabla}f(M(t))\) et le vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\). Que constatez-vous ? Quelle propriété géométrique cela vérifie-t-il ?
On note \(h(t)\) l’altitude à l’instant \(t\). On a donc \(h(t) = f(x(t), y(t))\).
Remplacer \(x(t)\) et \(y(t)\) dans l’expression de \(f\) pour trouver l’expression explicite de \(h(t)\).
Dériver \(h(t)\) par rapport à \(t\). Le résultat est-il cohérent avec la définition d’une ligne de niveau ?