L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 4 questions

exo7 3824

Soit EE l’ensemble des suites (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} à termes réels telles que la série ∑un2\sum u_n^2 converge.

Pour u,v∈Eu,v \in E, on pose : (u∣v)=∑n=0∞unvn(u\mid v) = \sum_{n=0}^{\infty} u_nv_n.

1

Montrer que EE est un espace vectoriel sur R\R.

2

Montrer que (u∣v)(u\mid v) existe.

3

Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur EE.

4

Montrer que EE, muni de la norme associée, est complet.

Exercice t0x1

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