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On se propose de calculer $I=\int_{-\pi}^\pi \ln|re^{i\theta}-a|\ d\theta$ , où $0<r<|a|$ .

Vérifier que $I$ est bien définie.

On considère $f$ la fonction définie sur $\Omega={\Cc}\backslash {\Rr^-}$ par $f(z)={1\over z}\hbox{ Log}(1-{z\over a})$ , où $\hbox {Log}$ est la détermination principale du logarithme sur $\Omega$ . Montrer que $f$ est holomorphe sur un ouvert contenant le cercle $\{z=re^{i\theta}\}$ .