On se propose de calculer \(I=\int_{-\pi}^\pi \ln|re^{i\theta}-a|\ d\theta\), où \(0<r<|a|\).
1
Vérifier que \(I\) est bien définie.
2
On considère \(f\) la fonction définie sur \(\Omega={\Cc}\backslash {\Rr^-}\) par \(f(z)={1\over z}\hbox{ Log}(1-{z\over a})\), où \(\hbox {Log}\) est la détermination principale du logarithme sur \(\Omega\). Montrer que \(f\) est holomorphe sur un ouvert contenant le cercle \(\{z=re^{i\theta}\}\).
3
En déduire \(I=2\pi \ln|a|\).