Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) dérivables avec : \(\forall\ x \in {]a,b[},\ g'(x) \ne 0\).
1
Montrer qu’il existe \(c \in {]a,b[}\) tel que : \(\frac {f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}\).
(Appliquer le théorème de Rolle à \(f-\lambda g\), où \(\lambda\) est un réel bien choisi)
2
En déduire que si \(\frac {f'(x)}{g'(x)} \to \ell\) lorsque \(x\to {a^+}\), alors \(\frac {f(x) - f(a)}{g(x)-g(a)} \to \ell\) lorsque \(x\to {a^+}\) (règle de l’Hospital).
3
Application : déterminer \(\lim_{x\to 0^+} \frac {\cos x - e^x}{(x+1)e^x - 1}\).