On a toujours \(A\times{^t}\mbox{com}A=(\mbox{det}A)I_n\) et donc

\[(\mbox{det}A)(\mbox{det}(\mbox{com}A))=(\mbox{det}A)(\mbox{det}(^t\mbox{com}A))=\mbox{det}(\mbox{det}A\;I_n)=(\mbox{det}A)^n.\] Si \(\mbox{det}A\neq0\), on obtient \(\mbox{det}(\mbox{com}A)=(\mbox{det}A)^{n-1}\). Si \(\mbox{det}A=0\), alors \(A{^t\mbox{com}A}=0\) et \(\mbox{com}A\) n’est pas inversible car sinon, \(A=0\) puis \(\mbox{com}A=0\) ce qui est absurde. Donc, \(\mbox{det}(\mbox{com}A)=0\). Ainsi, dans tous les cas,

Si \(\mbox{rg}A=n\), alors \(\mbox{com}A\in GL_n(\Kk)\) (car \(\mbox{det}(\mbox{com}A)\neq0\)) et \(\mbox{rg}(\mbox{com}A)=n\). Si \(\mbox{rg}A\leq n-2\), alors tous les mineurs de format \(n-1\) sont nuls et \(\mbox{com}A=0\). Dans ce cas, \(\mbox{rg}(\mbox{com}A)=0\). Si \(\mbox{rg}A=n-1\), il existe un mineur de format \(n-1\) non nul et \(\mbox{com}A\neq0\). Dans ce cas, \(1\leq\mbox{rg}(\mbox{com}A)\leq n-1\). Plus précisément, \[A{^t\mbox{com}A}=0\Rightarrow\mbox{com}A{^tA}=0\Rightarrow\mbox{Im}({^tA})\subset\mbox{Ker}(\mbox{com}A) \Rightarrow\mbox{dim}(\mbox{Ker}(\mbox{com}A))\geq\mbox{rg}({^tA})=\mbox{rg}A=n-1\Rightarrow\mbox{rg}(\mbox{com}A)\leq1,\] et finalement si \(\mbox{rg}A=n-1\), \(\mbox{rg}(\mbox{com}A)=1\).

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