On a toujours $A\times{^t}\mbox{com}A=(\mbox{det}A)I_n$ et donc

$(\mbox{det}A)(\mbox{det}(\mbox{com}A))=(\mbox{det}A)(\mbox{det}(^t\mbox{com}A))=\mbox{det}(\mbox{det}A\;I_n)=(\mbox{det}A)^n.$ Si $\mbox{det}A\neq0$ , on obtient $\mbox{det}(\mbox{com}A)=(\mbox{det}A)^{n-1}$ . Si $\mbox{det}A=0$ , alors $A{^t\mbox{com}A}=0$ et $\mbox{com}A$ n’est pas inversible car sinon, $A=0$ puis $\mbox{com}A=0$ ce qui est absurde. Donc, $\mbox{det}(\mbox{com}A)=0$ . Ainsi, dans tous les cas,

$\forall A\in M_n(\Cc),\;\mbox{det}(\mbox{com}A)=(\mbox{det}A)^{n-1}$ .

Si $\mbox{rg}A=n$ , alors $\mbox{com}A\in GL_n(\Kk)$ (car $\mbox{det}(\mbox{com}A)\neq0$ ) et $\mbox{rg}(\mbox{com}A)=n$ . Si $\mbox{rg}A\leq n-2$ , alors tous les mineurs de format $n-1$ sont nuls et $\mbox{com}A=0$ . Dans ce cas, $\mbox{rg}(\mbox{com}A)=0$ . Si $\mbox{rg}A=n-1$ , il existe un mineur de format $n-1$ non nul et $\mbox{com}A\neq0$ . Dans ce cas, $1\leq\mbox{rg}(\mbox{com}A)\leq n-1$ . Plus précisément, $\begin{align*} A{^t\mbox{com}A}=0 &\Rightarrow \mbox{com}A{^tA}=0 \\ &\Rightarrow \mbox{Im}({^tA})\subset\mbox{Ker}(\mbox{com}A) \\ &\Rightarrow \mbox{dim}(\mbox{Ker}(\mbox{com}A))\geq\mbox{rg}({^tA})=\mbox{rg}A=n-1 \\ &\Rightarrow \mbox{rg}(\mbox{com}A)\leq1, \end{align*}$ et finalement si $\mbox{rg}A=n-1$ , $\mbox{rg}(\mbox{com}A)=1$ .

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