exo7 2123

On pose $SL_2 (\Z )= \{\left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\\ \end{array} \right] \hskip 2pt | \hskip 2pt a,b,c,d \in \Z, ad-bc=1 \}$.

(a) Montrer que $SL_2 ( \Z )$ est un sous-groupe du groupe des matrices inversibles à coefficients dans $\Z$.

(b) On considère les deux matrices $$\left[ \begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0\\ \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{cc} 0&1\\ -1&-1\\ \end{array} \right]$$

Démontrer que $A$ et $B$ sont d’ordres finis mais que $AB$ est d’ordre infini.