Soit \(\mathcal{E}\) un espace affine euclidien de dimension \(3\). Pour tout couple de droites \((D_1,D_2)\) on appelle \[d(D_1,D_2)=\inf\{ \| y_1-y_2 \| , y_1 \in D_1, y_2\in D_2\}.\]
Calculer \(d(D_1,D_2)\) quand \(D_1\) et \(D_2\) sont concourantes.
Soit \(a_1\in D_1\) et \(a_2\in D_2\). En décomposant \(a_1-a_2\) dans \(\vec{D_1} +\vec{D_2}+(\vec{D_1} +\vec{D_2})^\perp\) montrer qu’il existe \(x_1\in D_1\) et \(x_2\in D_2\) tels que \(d(D_1,D_2)=d(x_1,x_2)\).
Montrer que pour \(z_1\in D_1\) et \(z_2\in D_2\), \[d(D_1,D_2)=d(z_1,z_2) _iff z_1-z_2\in \vec{D_1}^\perp \cap \vec{D_2}^\perp.\]
Montrer que si \(e_i\) est un vecteur directeur de \(D_i\) \[d(D_1,D_2)^2=\frac{Gram(a_1-a_2,e_1,e_2)}{Gram(e_1,e_2)}\] où \(Gram(u_1,u_2,\cdots ,u_r):=det(\langle u_i,u_j\rangle )_{1\leq i,j\leq r}\).
Calculer la distance entre les deux droites données par les équations cartésiennes dans un repère orthonormé de \(\mathcal{E}\) : \[\begin{aligned} M\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\in D_1 \iff\left\{\begin{array}{c}x+y=1\\x+y+2z=1\end{array}\right.\ \ \ M\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\in D_2 \iff\left\{\begin{array}{c}y+z=1\\x+y-2z=3\end{array}\right.\end{aligned}\]