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Calculer $d(D_1,D_2)$ quand $D_1$ et $D_2$ sont concourantes.

Soit $a_1\in D_1$ et $a_2\in D_2$. En décomposant $a_1-a_2$ dans $\vec{D_1} +\vec{D_2}+(\vec{D_1} +\vec{D_2})^\perp$ montrer qu’il existe $x_1\in D_1$ et $x_2\in D_2$ tels que $d(D_1,D_2)=d(x_1,x_2)$.

Montrer que pour $z_1\in D_1$ et $z_2\in D_2$, $$d(D_1,D_2)=d(z_1,z_2) _iff z_1-z_2\in \vec{D_1}^\perp \cap \vec{D_2}^\perp.$$

Montrer que si $e_i$ est un vecteur directeur de $D_i$ $$d(D_1,D_2)^2=\frac{Gram(a_1-a_2,e_1,e_2)}{Gram(e_1,e_2)}$$ où $Gram(u_1,u_2,\cdots ,u_r):=det(\langle u_i,u_j\rangle )_{1\leq i,j\leq r}$.

Calculer la distance entre les deux droites données par les équations cartésiennes dans un repère orthonormé de $\mathcal{E}$ : $$\begin{aligned} M\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\in D_1 \iff\left\{\begin{array}{c}x+y=1\\x+y+2z=1\end{array}\right.\ \ \ M\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\in D_2 \iff\left\{\begin{array}{c}y+z=1\\x+y-2z=3\end{array}\right. \end{aligned}$$