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Montrer que $e^w-1=\int_{[0,w]}e^z\ dz=\int_0^{|w|} e^{te^{i\theta}}e^{i\theta}\ dt$; montrer ainsi l’inégalité $|e^w-1|\leq|w|e^{|w|}$ (autre démonstration ?).

Application. On considère $K$ un compact du plan inclus dans $\Cc^*$ et la suite de fonctions $v_n$ définie sur $K$ par $v_n(z)={1\over z(1+{1\over n})^z }$. Montrer que $v_n(z)$ tend vers ${1\over z}$ uniformément sur $K$.