Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
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Montrer que \(e^w-1=\int_{[0,w]}e^z\ dz=\int_0^{|w|} e^{te^{i\theta}}e^{i\theta}\ dt\); montrer ainsi l’inégalité \(|e^w-1|\leq|w|e^{|w|}\) (autre démonstration ?).
2
Application. On considère \(K\) un compact du plan inclus dans \(\Cc^*\) et la suite de fonctions \(v_n\) définie sur \(K\) par \(v_n(z)={1\over z(1+{1\over n})^z }\). Montrer que \(v_n(z)\) tend vers \({1\over z}\) uniformément sur \(K\).