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Énoncer le théorème des résidus.

À l’aide du théorème des résidus, retrouver la formule de représentation de Cauchy pour les disques : Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D\to \Cc$ une application holomorphe. Alors, pour tout disque $\Delta_r(a)$ dont l’adhérence est incluse dans $D$, $$\forall b\in\Delta_r(a), \ \ \ \frac{1}{2i\pi}\int_{\partial\Delta_r(a)}\frac{f(z)dz}{z-b}=f(b).$$

Montrer plus généralement : Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D\to \Cc$ une application holomorphe. Alors, pour tout disque $\Delta_r(a)$ dont l’adhérence est incluse dans $D$, $$\forall k\in\Nn,\ \ \ \forall b\in\Delta_r(a), \ \ \ \ \frac{1}{2i\pi}\int_{\partial\Delta_r(a)}\frac{f(z)dz}{(z-b)^{k+1}}=\frac{f^{(k)}(b)}{k!}.$$