1
Énoncer le théorème des résidus.
2
À l’aide du théorème des résidus, retrouver la formule de représentation de Cauchy pour les disques : Soit \(D\) un ouvert de \(\Cc\) et \(f : D\to \Cc\) une application holomorphe. Alors, pour tout disque \(\Delta_r(a)\) dont l’adhérence est incluse dans \(D\), \[\forall b\in\Delta_r(a), \ \ \ \frac{1}{2i\pi}\int_{\partial\Delta_r(a)}\frac{f(z)dz}{z-b}=f(b).\]
3
Montrer plus généralement : Soit \(D\) un ouvert de \(\Cc\) et \(f : D\to \Cc\) une application holomorphe. Alors, pour tout disque \(\Delta_r(a)\) dont l’adhérence est incluse dans \(D\), \[\forall k\in\Nn,\ \ \ \forall b\in\Delta_r(a), \ \ \ \ \frac{1}{2i\pi}\int_{\partial\Delta_r(a)}\frac{f(z)dz}{(z-b)^{k+1}}=\frac{f^{(k)}(b)}{k!}.\]