La fonction $f$ est de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ en tant que polynôme à plusieurs variables. Donc, si $f$ admet un extremum local en $(x_0,y_0)\in\Rr^2$ , $(x_0,y_0)$ est un point critique de $f$ . Soit $(x,y)\in\Rr^2$ .

$\begin{align*}\ensuremath \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \rule{0mm}{7mm} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0 \end{array} \right.&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} -4(x-y)+4x^3=0\\ 4(x-y)+4y^3=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x^3+y^3=0\\ -4(x-y)+4x^3=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-x\\ x^3-2x=0 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow(x,y)\in\left\{(0,0),\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right),\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)\right\}. \end{align*}$

Réciproquement, $f$ est plus précisément de classe $C^2$ sur $\Rr^2$ et

$r(x,y)t(x,y)-s^2(x,y)=(-4+12x^2)(-4+12y^2)-(4)^2=-48x^2-48y^2+144x^2y^2=48(3x^2y^2-x^2-y^2)$

$(rt-s^2)\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)=48(12-2-2)>0$ . Donc $f$ admet un extremum local en $\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$ . Plus précisément, puisque $r\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)=2\times12-4=20>0$ , $f$ admet un minimum local en $\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$ . De plus, pour $(x,y)\in\Rr^2$ ,

$\begin{align*}\ensuremath f(x,y)-f\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)&=-2(x-y)^2+x^4+y^4-8=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy+8\\ &\geqslant x^4+y^4-2x^2-2y^2-2(x^2+y^2)+8=(x^4-4x^2+4)+(y^4-4y^2+4)=(x^2-2)^2+(y^2-2)^2\\ &\geqslant0. \end{align*}$

et $f\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$ est un minimum global.

Pour tout $(x,y)\in\Rr^2$ , $f(-x,-y)=f(x,y)$ et donc $f$ admet aussi un minimum global en $\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$ égal à $8$ .

$f(0,0)=0$ . Pour $x\neq0$ , $f(x,x)=2x^4>0$ et donc $f$ prend des valeurs strictement supérieures à $f(0,0)$ dans tout voisinage de $(0,0)$ . Pour $x\in\left]-\sqrt{2},\sqrt{2}\right[\setminus\{0\}$ , $f(x,0)=x^4-2x^2=x^2(x^2-2)<0$ et $f$ prend des valeurs strictement inférieures à $f(0,0)$ dans tout voisinage de $(0,0)$ . Finalement, $f$ n’admet pas d’extremum local en $(0,0)$ .

$f$ admet un minimum global égal à $8$ , atteint en $\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$ et $\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$ .

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