Soit \(\vec{V}\) un espace vectoriel et \(q\) une forme quadratique sur \(\vec{V}\). On appelle quadrique projective associée à \(q\) le sous ensemble de \(P:=P(\vec{V})\) défini par (\(p\) est la projection canonique \(\vec{V}-\{0\}\to P\)) \[Q:=p\left( \{x\in\vec{V}-\{0\}/ q(x)=0\}\right).\]
1
On suppose \(\dim P=1\). Montrer que si \(Q\) contient trois points distincts, \(Q=P\).
2
On suppose \(\dim P=2\). Montrer que si \(Q\) contient une droite \(d\), soit \(Q=P\), soit il existe une droite \(d'\) telle que \(Q=d\cup d'\).
3
Soit \(d\) une droite de \(P\). Montrer que si \(d\) rencontre \(Q\) en au moins trois points, \(d\) est incluse dans \(Q\). Montrer que si \(k=\mathbb{C}\) alors \(d\) rencontre \(Q\).