L3 Algèbre et géométrie Géométrie projective 3 questions

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Soit V⃗\vec{V} un espace vectoriel et qq une forme quadratique sur V⃗\vec{V}. On appelle quadrique projective associée à qq le sous ensemble de P:=P(V⃗)P:=P(\vec{V}) défini par (pp est la projection canonique V⃗−{0}→P\vec{V}-\{0\}\to P) Q:=p({x∈V⃗−{0}/q(x)=0}).Q:=p\left( \{x\in\vec{V}-\{0\}/ q(x)=0\}\right).

1

On suppose dim⁡P=1\dim P=1. Montrer que si QQ contient trois points distincts, Q=PQ=P.

2

On suppose dim⁡P=2\dim P=2. Montrer que si QQ contient une droite dd, soit Q=PQ=P, soit il existe une droite d′d' telle que Q=d∪d′Q=d\cup d'.

3

Soit dd une droite de PP. Montrer que si dd rencontre QQ en au moins trois points, dd est incluse dans QQ. Montrer que si k=Ck=\mathbb{C} alors dd rencontre QQ.

Exercice wIJJ

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