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Trouver la formule explicite suivante pour la projection stéréographique \(\pi : \R^n\cup\{\infty\}\to S^n:\)
\[\displaystyle \pi(x)=\Big(\frac{2x_1}{1+\vert\vert x\vert\vert^2},\ ... ,\ \frac{2x_n}{1+\vert\vert x\vert\vert^2},\ \frac{\vert\vert x\vert\vert^2 -1}{\vert\vert x\vert\vert^2+1}\Big),\] où \(x=(x_1,...,x_n,0)\in \R^n\subset \Rr^{n+1}.\)
Indication: Écrire \(\pi(x)-e_{n+1}=t(x-e_{n+1}),\ t\in\R.\)