Si \(P\) et \(\chi_f\) sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(UP+V\chi_f = 1\). En prenant la valeur en \(f\) et puisque que \(\chi_f(f) = 0\), on obtient \(P(f)\circ U(f) =U(f)\circ P(f) = Id\). \(P(f)\) est donc un automorphisme de \(E\).

Réciproquement, si \(P\) et \(\chi_f\) ne sont pas premiers entre eux, \(P\) et \(\chi_f\) ont une racine commune \(\lambda\) dans \(\Cc\). Soit \(A\) est la matrice de \(f\) dans une base donnée (si \(\Kk\) n’est pas \(\Cc\) l’utilisation de la matrice est indispensable). On a \(P(A)=(A-\lambda I)Q(A)\) pour un certain polynôme \(Q\). La matrice \(A-\lambda I\) n’est pas inversible car \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) et donc \(P(A)\) n’est pas inversible (\(\text{det}(P(A))=\text{det}(A-\lambda I)\text{det}Q(A) = 0\)).

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