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Soit $E$ un ensemble non vide muni d’une loi interne et $a_n$ le nombre de parenthésages possibles d’un produit de $n$ éléménts de $E$ (($a_1 = 1$ conventionnellement), $a_2 = 1$, $a_3 = 2$, $a_4 = 5$, ...). Montrer que pour tout $n\geqslant 2$, $a_n =\sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k}$.

Soit $f$ la série entière associée à la suite $(a_n)$. On suppose momentanément le rayon $R$ de cette série strictement positif. Montrer que pour tout $x$ de $]-R,R[$, $(f(x))^2 -f(x)+ x = 0$.

Calculer $R$ et $f$.

En déduire $a_n$.