[ex:rou20x]
1
Soit \(E\) un ensemble non vide muni d’une loi interne et \(a_n\) le nombre de parenthésages possibles d’un produit de \(n\) éléménts de \(E\) ((\(a_1 = 1\) conventionnellement), \(a_2 = 1\), \(a_3 = 2\), \(a_4 = 5\), ...). Montrer que pour tout \(n\geqslant 2\), \(a_n =\sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k}\).
2
Soit \(f\) la série entière associée à la suite \((a_n)\). On suppose momentanément le rayon \(R\) de cette série strictement positif. Montrer que pour tout \(x\) de \(]-R,R[\), \((f(x))^2 -f(x)+ x = 0\).
3
Calculer \(R\) et \(f\).
4
En déduire \(a_n\).